Wzór uniwersalny

Wzór uniwersalny, zwany też od nazwiska autora wzorem Simpsona, służy do obliczania objętości beczki, butli, walca, stożka (także ściętego), kuli, wszelkiego rodzaju graniastosłupów, pryzm i pryzmatoidów:

V=(h/6)*(S1+4S2+S3), gdzie:

V – objętość bryły

h – wysokość bryły

S1 – pole podstawy dolnej

S2 – pole przekroju środkowego

S1 – pole podstawy górnej

Wzór nadaje się również do obliczania pola figur płaskich: równoległoboku, trapezu i trójkąta; w tym wypadku h oznacza wysokość figury, S1 – długość podstawy dolnej, S2 – długość linii środkowej, S3 – długość podstawy górnej.

Zachęcam do testowania 😉

Na podstawie książeczki „Pi plus oko” Jerzego Życzyńskiego – polecam

Kornel



„Kornel: moje podróże”

Re: Fotki z Merkurego

Te „X” robi wrażenie 🙂 Łańcuszki kraterów nie są jednak aż takim dziwem jak można by sądzić. Występują na Księżycu:

http://nssdc.gsfc.nasa.gov/imgcat/midres/a12_h_51_7485.gif

I na Ganimedesie:

http://t2.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcTt-bAXaQlQuJy1BdguxxPsBxPuElEDvbRXIl2Pi04fD6NnSnYbCfqaWNo

Jak również na Marsie. Powstanie: albo wyrzut wielu głazów przy wybiciu sąsiedniego krateru, albo uderzenie obiektu rozerwanego przez siły pływowe tak jak kiedyś kometa Schoemaker-Levy:

http://www.phy.olemiss.edu/Astro/Topics-Solar/Images/ShoemakerLevyString_103x300.jpg

Fotki z Merkurego

Wielkie X, tu ladujemy! 🙂 To miejsce jeszcze nie zostalo nazwane

http://www.nasa.gov/images/content/540938main_messenter_orbit_image20110428_1_4by3_516-387.jpg

Miejsce na Park Disneya — wg. mnie to Mycha Mickey — Spitteler i Holberg

http://www.nasa.gov/images/content/540169main_messenger_orbit_image20110424_1_4by3_946-710.jpg

A tu postawimy sobie Wawel, czyli na Szczytach Mickiewicza 🙂

http://www.nasa.gov/images/content/540362main_messenger_orbit_image20110427_1_4by3_516-387.jpg



Certified P.E.B.K.A.C* Technician.

* Problem Exists Between Keyboard And Chair…

rozwinięcie fajnego wzoru

> (1+2+3+ … + n)^2 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + … n^3;

a teraz bierzemy liczbę, powiedzmy 24

i wypisujemy wszystkie dzielniki,

a obok jeszcze ilość podzielników każdego;

np. 4 ma 3: 1 2 i 4, więc zapiszemy tak:

p, n

1, 1 – jeden ma 1

2, 2 – 2 ma 2: 1 i 2

4, 3 – 4 ma 3: 1,2 i 4;

Obok dopisujemy jeszcze n^3:

teraz: 24 = 3*8

p, n, n^3

1, 1, 1

2, 2, 8

3, 2, 8

4, 3, 27

6, 4, 64

8, 4, 64

12, 6, 216

24, 8, 512

=========

S: 30, 900

Czyli jest zgodnie z wzorem na początku:

(1+2+2+3+4+4+6+8)^2 = 1^3+2^3+2^3+3^3+4^3+4^3+6^3+8^3

No i co – prawda że fajne?

Re: dawać tu fajne wzory

> e^(pi*i) +1 = 0

> albo

>

> i^i = e^(-pi/2)

To są obliczenia/przekształcenia

a nie wzory – reguły… w poprawny sensie.

e^ix = cosx + isinx;

albo ogólnie – zwyczajne potęgowanie: a^b = e^(b.lna);

dawać tu fajne wzory

Ja mam taki fajny wzór:

(1+2+3+ … + n)^2 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + … n^3;

geometryczne biorąc z prawej mamy kwadrat,

a z lewej sześcian: m^2 = m^3!?

Niekoniecznie.

Odpowiednik w ciągłych – zamiast sum całki:

(int ndn)^2 = int n^3dn; w granicach od 0 do n;

(n^2/2)^2 = n^4/4; pasuje?

wymiar się zgadza – i wynosi 4: m^4 = m^4;

Nie słyszę Cię

Świetny tekst, dzięki 🙂

No i to praktyczny przykład przemian ludzi w kierunku cyborgizacji (GRIN, Kurzweil etc.) A pan Lem mówił o tym bodaj w „Golemie XIV” (cytuję z pamięci): stopniowość przemian odbierze im ich tragiczny sens…

Czemu tragiczny???

Stanisław Remuszko

www.remuszko.pl

P.S. Przypadkiem kilka dni temu byłem w Kajetanach i odniosłem wrażenie, że prof. Skarżyński jest nie tylko wybitnym badaczem/lekarzem, lecz także organizatorem.

Re: i co?

A czego się spodziewałeś? Mieczy świetlnych i zielonych obcych?

Posted in Bez kategorii

55 Cancri A e

41 lat świetlnych od nas leży w gwiazdozbiorze Raka gwiazda 55 Cancri. Jest to gwiazda podwójna: żółty i czerwony karzeł. Wokół żółtego 55 Cancri A odkryto jak dotąd 5 planet. Ostatnio obserwowano tranzyt planety e, badanej przedtem spektroskopowo/dopplerowsko.

http://cdn.physorg.com/newman/gfx/news/2011/55-cnc-and-sun-transits.jpg

Wyszły dziwy prawdziwe. Planeta jest o 60% większa od Ziemi, ma 8-krotnie wiekszą masę. Daje to gęstosć około dwukrotnie wiekszą od ziemskiej, zbliżoną do gęstości ołowiu! To rekord absolutny, powstaje pytanie z czego ta planeta jest zbudowana? Krązy ona niezwykle blisko gwiazdy, tak że temperatura wynosi 2700 stopni Celsjusza. Można by więc sobie wyobrazić, ze jest to czysto metaliczne jądro, pierwiastki lżejsze po prostu tam nie skondensowały…. Metalowa planeta… Nie jest to aż tak wielkim zaskoczeniem, wiadomo, że Merkury w naszym Układzie ma również ogromne w stosunku do rozmiarów jądro!

Układ 55 Cancri jest niezwykle ciekawy. Po pierwsze – na niebie planet świecą dwa Słonca (z czego jedno jednak słabiutkie). Po drugie – jedna z planet, rozmiarów Saturna krąży w ekosferze gwiazdy. I choć na samej planecie życia pewnie nie ma, z powodzeniem mogłoby powstać na satelicie owej planety – odpowiedniku naszego Tytana… no i pięć planet w jednym układzie to juz coś, zwłaszcza że istnieją tam „luki” w których mogą krążyć nieodkryte jeszcze planety… znajac selekcję obserwacyjną, mogłoby tam być jeszcze z pół tuzina a może i tuzin planet! Chyba bardziej różnorodnych niż w naszym układzie…

A w ogóle, jeśli wokół tej gwiazdy ktoś jest, chyba się o nas niedługo dowie. W 2003 roku Kosmiczny Zew 2 wysłany został z Eupatorii, doleci w 2044. Potomkowie dowiedza sie co z tego wynikło po 2085 roku…

Re: Intuizjonizm w matematyce

facet123:

> 1. W jaki sposób intuicjonistyczne podejście radzi sobie z liczbami

> rzeczywistymi nie uznając, że alef0 < continuum?

Może tylko dla ostrożności: intuicjonista nie zgodzi się również na równość w miejsce Twojej nierówności. Powie, że nie ma dowodu ani na mniejszość ani na równość i że trzeba pozostać przy niewiedzy. Można udowodnić (klasycznie) istnienie zgodnych z intuicjonizmem światów, w których zachodzi mniejszość i istnienie zgodnych z intuicjonizmem światów, w których zachodzi równość.

Dowód tej nierówności klasycznie przeprowadza się wykazując nierównoliczność dowolnego zbioru X i jego zbioru potęgowego (czyli zbioru podzbiorów P(X). Dopiero potem uzasadnia się, że moc zbioru P(Nat) jest taka sama jak moc zbioru Real. A dowód tej nierównoliczności idzie tak. Załóżmy, że istnieje surjekcja (czyli funkcja ,,na”) f:X–>P(X) i rozpatrzmy zbiór

    X' = {x∈X | x∉f(x)}

oraz taki x’∈X, że f(x’)=X’ (funkcja f jest surjekcją). Teraz:

  • jeśli x’∈X’=f(x’), to x’∉X’, sprzeczność;
  • jeśli x’∉X’=f(x’), to x’∈X’, sprzeczność.

Ponieważ tertium non datur, doprowadziliśmy do sprzeczności założenie o istnieniu funkcji f.

Otóż w matematyce intuicjonistycznej tertium datur i sprzeczności nie ma. Pokazaliśmy tylko, że nie jest możliwe x’∈X’ ani x’∉X’; mamy więc

    (¬ x'∈X') ∧ (¬ ¬ x'∈X')

(intuinicjonistyczne negacje nie kasują się), czyli

    ¬ (x'∈X' ∨ ¬ x'∈X')

No i OK, powie intuicjonista; alternatywa p∨¬p nie jest tautologią intuicjonistyczną.

facet123:

> 2. W jaki sposób podchodzi do dowodu przekątniowego?

No właśnie zademonstrowałem dowód przekątniowy i powody jego odrzucenia przez intuicjonistę. Nie ma sprowadzania do sprzeczności: jak chcesz coś wykazać, to wykaż wprost.

facet123:

> 3. Czy prawdą jest, że w matematyce intuicjonistycznej nie operuje

> się na liczbach nieobliczalnych (takich których nie sposób

> algorytmicznie wygenerować z dowolną dokładnością)?

Tak. Istnieją liczby algebraiczne, czyli pierwiastki równań wielomianowych o wymiernych współczynnikach. Istnieją granice efektywnie zadanych monotonicznych ciągów ograniczonych takich liczb. Ale to jeszcze daleko nie wyczerpuje wszystkich klasycznych liczb rzeczywistych.

facet123:

> Jeżeli tak, to nie ma tam zbiorów spójnych?

Jak najbardziej są. Zbiór X jest niespójny, jeśli da się przedstawić w postaci

    X = A∪B    gdzie    A∩B = ∅

i zarówno A jak B są otwarte i jednocześnie domknięte w X.

Intuicjonista ma do dyspozycji mniej zbiorów, na które mógłby rozbić X. Jeśli masz na myśli np.

    A = {x∈Real | x<r}    oraz
    B = {x∈Real | x>r}

gdzie r jest jakąś liczbą nieobliczalną, to przecież intuicjonista nie uznaje istnienia r, więc nie mógłby tych zbiorów zdefiniować, więc rozbicia nie osiągnie.

facet123:

> Nie ma pojęcia ciągłości?

Jest, z tego samego powodu. Żeby funkcja była nieciągła, musiałaby odrywać granicę jakiegoś ciągu od tego ciągu — a brzydkich funkcji i brzydkich ciągów jest mniej.

facet123:

> Niby liczby nieobliczalne nie są do niczego „potrzebne” – prawie

> każda liczba jaką potrafimy nazwać jest obliczalna

Każda, bez ,,prawie”. ,,Liczby losowe” to nie są liczby; to slang, dotyczący zmiennych losowych, czyli funkcji.

facet123:

> te losowe i nieobliczalne liczby rzeczywiste wypełniają tylko

> przestrzeń, ale bez nich, jeżeli dobrze mi się wydaje, spora część

> pojęć matematyki traci sens.

Teoria wielkich liczb kardynalnych zaczyna działać w próżni — to znaczy nawet te jej twierdzenia, które pozostają w mocy, przestają mieć jakiekolwiek znaczenie.

Znikają twory niekonstruktywne. Możesz nie opłakiwać utraty zbiorów nieposiadających miary Lebesgue’a; ale pewnie wolałbyś, żeby iloczyny kartezjańskie dużych zbiorów były duże. A tu klops: skończony iloczyn

    X1 × X2 × ... × Xn

ma dużo elementów (przy założeniu, że każdy z czynników jest niepusty), ale dla nieskończonego iloczynu

    X1 × X2 × ...

nie istnieje (i nie może istnieć) ogólny intuicjonistyczny dowód niepustości.

Ja już mówiłem, że intuicjonizmu nie lubię; tak jak nie lubię jeździć na rowerze ze związanymi nogami. Ale muszę przyznać, że jak na takie ograniczenie środków dowodowych radzi on sobie zadziwiająco dobrze. Z wielkimi obszarami matematyki jednak daje sobie radę.

– Stefan